极值问题是数量关系中常考的一类题型,常型如：和定最值，最不利原则和均值不等式。其中对于和定最值来说，只需要掌握解题原则和相关方法就可以进行求解，那么接下来给大家讲讲如何解决和定最值问题。

1.和定最值的定义

和定最值是已知几个量的和一定，求其中某个量的值或最小值。

例如：将10颗糖分给小王，小明，小红三人，求分得糖数最多的人最多分几颗?

在这个题中，三个人共分10颗糖，即和一定，要求分得糖数最多的人最多分几颗，即要求其中某个量的值，这样的问题就是和定最值。

2.和定最值的解题原则

求某量的值，要求其它量尽可能小;

求某量的最小值，要求其它量尽可能大。

例如：将10颗糖分给小王，小明，小红三人，求分得糖数最多的人最多分多少颗?

在这个题中，要求分得糖数最多的人最多分几颗，即求某个量的值。在和一定时，要让分得糖数最多的人多分，那么我们就让其他两人尽可能少分。即求某量的值，要求其它量尽可能小。接下来我们通过几个例题感受下，如何利用原则来求解这类题目。

【例1】在一场百分制的考试中，5个人的总分是330分，这5个人都及格了，而且每个人成绩是互不相等的整数。那么成绩的最多得几分?

A.80 B.83 C.84 D.91

【解析】C。已知5人得分总和，即为总和是一定的，所求为成绩的最多得几分，属于和定最值问题的题型。5人成绩总和是330，成绩的人得分要尽可能多，那其余4人得分要尽可能小，而且每个人都及格且是互不相等的整数，进而可以推出第五名成绩最小为60，第四名成绩要比第五名多，还得尽可能小，那么就比第五名多1分，也就是61，以此类推，第三名成绩为62，第二名成绩为63。设第一名成绩为X，可列方程：X+63+62+61+60=330，解得X=84，因此成绩的最多得84分。

【例2】现有26株树苗要分植于5片绿地上，若使每片绿地上分得的树苗数各不相同，则分得树苗最多的绿地至少可分得几株树苗?

A.8 B.7 C.9 D.6

【解析】A。解析：题中表明共有26株树苗，即总和是一定的，求的是分得树苗最多的绿地至少可分得几株树苗，属于和定最值问题的题型。根据原则，要求分得树苗最多的最少几棵，则其他分的树苗要尽可能的多。且绿地上分得的树苗数为各不相的整数。因此假设分得树苗最多的绿地至少分得X株，那么分得第二多的最多X-1，依次类推，分得第三，第四，第五的最多分别为X-2，X-3，X-4。总和是26株，所以加起来为26，即：X+X-1+X-2+X-3+X-4=26，解得X=7.2。因为分得树苗株数一定为整数棵，则要取整，求的是最小值，算出来最小值为7.2，不能比7.2小，则只能向上取整，取8，故选择A选项。

【例2】植树节到来之际，120人参加义务植树活动，共分成人数不等且每组不少于10人的六个小组，每人只能参加一个小组，则参加人数第二多的组最多有( )人。

A.34 B.35 C.36 D.37

【解析】C。解析：题中表明共有120人分成六个小组，即总和是一定的，求的是人数第二多的组最多有几人，属于和定最值问题的题型。根据原则，所求为第二多的组最多有几人，则其他组人数应当尽量少，并且要求每组人数互不相等且不少于10人。可以假设所求即分得第二多的组最多为X人，则人数第一多的组最少为X+1，分得人数最少的组最少为10人，分得人数第二少的组最少为11人。以此类推，这六组从人数最多的组到最少的组人数分别为X+1，X，13，12，11，10，总和是120人，所以加起来为120。即X+1+X+13+12+11+10=120，解得X=36.5，因为分得人数一定为整数，且求的是值，解出值为36.5，即不能比36.5大，则只能向下取整，取36，故答案为C。

通过上面三个例题，相信大家对于和定最值问题已经清楚了，后续遇到这类问题就可以用上述的方法去解决。对于这类题大家需要特别注意的是题干描述中是否要求各个量为互不相同的整数，如果没要求，就需考虑取最小值时可以相等的情况。

（责任编辑：李明）